一次函數(shù)的基本內(nèi)容

兵馬未動(dòng)，糧草先行。認(rèn)識(shí)一次函數(shù)，首先得從基礎(chǔ)抓起，概念理解不透徹，知識(shí)掌握不牢固，做起題目來(lái)必然也會(huì)磕磕碰碰，不得其解。

1、表達(dá)式：

一般地，形如y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù)。

(當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù))

一次函數(shù)一般形式 y=kx+b成立的條件：

● k不為零

● x指數(shù)為1

● b取任意實(shí)數(shù)

2、函數(shù)圖象：

(1)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)(0，b)和(-b/k，0)兩點(diǎn)的一條直線(xiàn)，我們稱(chēng)為直線(xiàn)y=kx+b，它可以看作由直線(xiàn)y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到。

(2)走向：k>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限;k<0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限;b>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限;b<0，圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限。

3、增減性：

k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小。

總結(jié)：

(1)k>0且b>0 直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，y隨x的增大而增大。

(2)k>0且b<0 直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，y隨x的增大而增大。

(3)k<0且b>0 直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，y隨x的增大而減小。

(4)k<0且b<0直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

4、圖像的平移：

遵循“上加下減，左加右減”的原則：

當(dāng)b>0時(shí)，將直線(xiàn)y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;

當(dāng)b<0時(shí)，將直線(xiàn)y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位。

5、一次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)

若兩函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則y=kx+b變成y=-kx-b，交點(diǎn)為(-b/k，0);

若兩函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則y=kx+b變成y=-kx+b，交點(diǎn)為(0，b);

若兩函數(shù)關(guān)于x=n對(duì)稱(chēng)，則y=kx+b變成y=-kx+2nk+b，交點(diǎn)為(n，kn+b);

若兩函數(shù)關(guān)于y=n對(duì)稱(chēng)，則y=kx+b變成y=-kx+(2n-b)，交點(diǎn)為[(n-b)/k，n];

若兩函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則y=kx+b變成y=kx-b，無(wú)交點(diǎn)。

一次函數(shù)的應(yīng)用

一次函數(shù)的應(yīng)用題，信息量大，綜合性強(qiáng)，不僅僅考察了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，還考察了閱讀理解能力及構(gòu)造方程的能力等，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是一個(gè)難點(diǎn)。一、一次函數(shù)圖象的基本應(yīng)用

我們需要知道：任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖象上看，相當(dāng)于已知直線(xiàn)y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

當(dāng)需要利用函數(shù)和函數(shù)圖象比較數(shù)的大小，主要有三種方法：

(1)直接把x值代入函數(shù)關(guān)系式，求出相應(yīng)的y值，比較數(shù)的大小;

(2)在函數(shù)圖象上描出各點(diǎn)，再根據(jù)各點(diǎn)的位置情況，比較數(shù)的大小;

(3)利用函數(shù)的增減性，比較數(shù)的大小。

涉及一次函數(shù)的圖像的相關(guān)題目，需要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)其單調(diào)性、經(jīng)過(guò)的象限，交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，這類(lèi)題目的難易程度一般，基本在選擇題和填空題出現(xiàn)。

二、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

確定函數(shù)解析式的一般步驟：

(1)根據(jù)已知條件寫(xiě)出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值;

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式。

三、一次函數(shù)的綜合考察

在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的題目出現(xiàn)較多，這些題型綜合考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等的知識(shí)，還能夠與其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)。解題時(shí)，涉及交點(diǎn)時(shí)要注意充分應(yīng)用交點(diǎn)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上的條件。

例如：涉及一次函數(shù)與一元一次不等式的知識(shí)點(diǎn)，可以將一元一次不等式轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍。

課堂總結(jié)

1、解決一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：

◆分析問(wèn)題：

(1)借助圖、表等手段分析題目中的數(shù)量關(guān)系，從而確定函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)函數(shù)圖像獲取信息，分析數(shù)量關(guān)系。

◆確定模型：根據(jù)獲取到的信息確定一次函數(shù)模型。

◆解決問(wèn)題：根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系或者數(shù)學(xué)模型，將具體數(shù)字代入，從而解決問(wèn)題。

2、注意事項(xiàng)：■ 對(duì)于有圖象的應(yīng)用題，首先從函數(shù)的圖像入手，搞清楚函數(shù)圖像的實(shí)際意義，把那些關(guān)鍵的點(diǎn)，線(xiàn)給求出來(lái)，往往能夠起到事半功倍的效果。

■ 搞定了圖象，再看題目的關(guān)鍵信息，許多問(wèn)題就迎刃而解。

■ 對(duì)于沒(méi)有圖象的應(yīng)用題，一邊讀題，一邊將關(guān)鍵的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)之間的關(guān)系羅列出來(lái)——通過(guò)讀題把文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

課后練習(xí)

已知A、B兩地之間的筆直公路上有一處加油站C(靠近B地)，一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)分別從A、B兩地出發(fā)，朝另一地前進(jìn)，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.如圖所示是客車(chē)、貨車(chē)離加油站C的距離y₁，y₂(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系圖像。

(1)求客車(chē)和貨車(chē)的速度;

(2)圖中點(diǎn)E代表的實(shí)際意義是什么，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)。

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