1.軸對(duì)稱(chēng)的定

把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

【軸對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等�！�

2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義

把一個(gè)圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。

【軸對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱(chēng)軸分成的兩部分能夠互相重合.一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定。】

3.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的主要區(qū)別：軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形;軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱(chēng)圖形;反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(原對(duì)稱(chēng)軸)對(duì)稱(chēng).。

4.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分;成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱(chēng);成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。

5.線段的軸對(duì)稱(chēng)性

①線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱(chēng)軸。

②線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。

③線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

【①線段的垂直平分線，畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件。②三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心�！�

6.線段的垂直平分線

垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。

7.角的軸對(duì)稱(chēng)性

(1)角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸。

(2)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

(3)角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

【①用符號(hào)語(yǔ)言表示角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE=PF】

【②用符號(hào)語(yǔ)言表示角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE=PF，則PD平分∠ADB 】

8.角平分線的畫(huà)法

角平分線的尺規(guī)作圖

·真題解析

考點(diǎn)1 判別軸對(duì)稱(chēng)圖形

例1

(2013年咸寧)下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( 　)

分析

：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：把一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可。

解：

選項(xiàng)A、B、D是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)C不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故選C。

考點(diǎn)2 線段的垂直平分線的性質(zhì)

例2

(2013年泰州)如圖1，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長(zhǎng)為　　cm.

分析：

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得DC=DB，進(jìn)而可確定△ABD的周長(zhǎng)。

解：

因?yàn)閘垂直平分BC，所以DB=DC

所以△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考點(diǎn)3 畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形

例3

(2013年哈爾濱)如圖2所示，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點(diǎn)A，B，M，N均在小正方形的頂點(diǎn)上，在方格紙中畫(huà)四邊形ABCD(四邊形的各頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上)，使四邊形ABCD是以直線MN為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C。

分析：

過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線MN的垂線，垂足為O，在垂線上截取OD=OA，D就是A關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);同理，畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C;連接BC，CD，DA，即可得到四邊形ABCD。

解：

正確畫(huà)圖如圖3所示。

例4

(2013年重慶)作圖題：(不要求寫(xiě)作法)如圖4所示，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(-2，1)，B(-4，5)，C(-5，2)。

⑴作△ABC關(guān)于直線l：x=-1對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1;

⑵寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

分析：

⑴根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，C1，然后順次連接即可;⑵直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

解：

⑴畫(huà)△A1B1C1如圖5所示。

⑵A1(0，1)、B1(2，5)、C1(3，2)。

考點(diǎn)4 關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

例5

(2013年遂寧)將點(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，點(diǎn)A′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)

A.(-3，2) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-1，-2)

分析：

先利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解。

解：

因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-1，2)。所以點(diǎn)A′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2)，故選C。

考點(diǎn)5 等腰三角形的性質(zhì)

例6

(2013年臺(tái)灣)如圖6，在長(zhǎng)方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，分別以B，M為圓心，BC，MC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P。若∠PBC=70°，則∠MPC的度數(shù)為(　 )

A.20° B.35° C.40° D.55°

分析：

根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根據(jù)“等邊對(duì)等角”求解即可.

解：

因?yàn)榉謩e以B，M為圓心，BC，MC長(zhǎng)為半徑的兩弧相交于點(diǎn)P，所以BP=BC，MP=MC。

因?yàn)?ang;PBC=70°，所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°

在長(zhǎng)方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°，故選B。

考點(diǎn)6 等邊三角形的性質(zhì)

例7

(2013年黔西南州)如圖8，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數(shù)為

分析：

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)。

解：

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°

因?yàn)镃G=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°

因?yàn)镈F=DE，所以∠E=15°，故填15°

考點(diǎn)7含300角的直角三角形的性質(zhì)

例8

(2013年泰安)如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長(zhǎng)是

分析：

根據(jù)題意推得∠DBE=30°，則在Rt△DBE中由“30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長(zhǎng)度。

解：

因?yàn)镕D⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°

因?yàn)?ang;F=30°，所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分線AB，所以∠EBA=∠A=30°

因?yàn)镈E=1，所以BE=2DE=2，故填2。

·誤區(qū)點(diǎn)撥

誤區(qū)1 軸對(duì)稱(chēng)含義理解不清致錯(cuò)

例1

如圖1中的(1)、(2)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)畫(huà)出它們的對(duì)稱(chēng)軸。

錯(cuò)解：

如圖1所示的直線MN

剖析：

沿直線MN對(duì)折，在直線MN兩旁的圖形的確可以互相重合，但這里要求的是畫(huà)(1)、(2)的對(duì)稱(chēng)軸，而MN并不是這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸。畫(huà)成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)要注意所指的是哪個(gè)兩個(gè)圖形，特別注意當(dāng)這兩個(gè)圖形本身也是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，不要把各自圖形的對(duì)稱(chēng)軸作為兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸。

正解：

如圖1所示的直線PQ

誤區(qū)2

例2

如圖2，已知A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，下列結(jié)論：①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正確的有 (填序號(hào)即可).

錯(cuò)解：

填①②③④.

剖析：

錯(cuò)解“A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)”錯(cuò)誤理解為“AC，BD互相垂直平分”，實(shí)際上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立。

正解：

填①③④.

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