一、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

1、矩形的性質(zhì)

①具有平行四邊形的一切性質(zhì);

②矩形的四個(gè)角都是直角;

③矩形的對(duì)角線相等;

④矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸;

⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2、菱形的性質(zhì)

①具有平行四邊形的一切性質(zhì);

②菱形的四條邊都相等;

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;

④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸;

⑤菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半。

3、正方形的性質(zhì)

正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)

①邊：四邊相等，對(duì)邊平行;

②角：四個(gè)角都是直角;

③對(duì)角線：互相平分;相等;且垂直;每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，即正方形的對(duì)角線與邊的夾角為45度;

④正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為 ( )

A.360 B.90 C.270 D.180

例2 如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，BE：ED=1：3，AB=6cm，求AC的長(zhǎng)。

例3 如圖， O是矩形ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度數(shù)。

例4 菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩鄰角的比為1:2，則較短對(duì)角線的長(zhǎng)________ 。

例5 如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

二、矩形、菱形、正方形的判定

1、矩形的判定

①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形;

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;

③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;

④還有對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

2、菱形的判定方法

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;

③四條邊都相等四邊形是菱形;

④對(duì)角線垂直平分的四邊形是菱形。

3、正方形的判定

①菱形+矩形的一條特征;

②菱形+矩形的一條特征;

③平行四邊形+一個(gè)直角+一組鄰邊相等。

說(shuō)明一個(gè)四邊形是正方形的一般思路是：先判斷它是矩形，在判斷這個(gè)矩形也是菱形;或先判斷它是菱形，再判斷這個(gè)菱形也是矩形。

例1、 如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC與AB的平行線，并交于點(diǎn)E，連續(xù)EC、AD。

求證：四邊形ADCE是矩形。

例2、如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB、

求證：AD與EF互相垂直平分。

例3、已知如圖，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求證：四邊形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形與函數(shù)綜合題

1、利用矩形、菱形、正方形的知識(shí)解決函數(shù)問(wèn)題;

2、利用函數(shù)知識(shí)解決矩形、菱形、正方形的問(wèn)題;

例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(k>0，x>0)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3).

(1)求k的值;

(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù)y=(k>0，x>0)的圖象上時(shí)，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離。

例2、如圖，點(diǎn)B、C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k值為_(kāi)_____.

例3 已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí)，稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng);

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D(2，m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1、從翻折中找出對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性找相等關(guān)系。

2、利用相等關(guān)系建立方程解決問(wèn)題。

例1 如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG

交CD于點(diǎn)F.若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)是( )

A.3√6 B.2√6

C.2√5 D.2√3

例2 如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在∠ADC的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)B′到BC的距離為(　　)

A、1或2 B、 2或3

C、3或4 D、 4或5

例3 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE對(duì)折，A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處。延長(zhǎng)AF，與CD邊交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則下列說(shuō)法：①△BFH為等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA; ③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正確的說(shuō)法有(　)

A.1個(gè)　　B.2個(gè)

C.3個(gè)　D.4個(gè)

例4 四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H。

(1)如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系?并證明。

(2)如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長(zhǎng)。

五、綜合運(yùn)用

1、計(jì)算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形進(jìn)行計(jì)算。

2、證明。利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，結(jié)合全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的知識(shí)展開(kāi)證明。

3、探究。利用矩形、菱形、正方形等知識(shí)展開(kāi)探究。

例1 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由.

(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng).

(3)如圖3，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫(xiě)出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

例2 現(xiàn)有兩個(gè)具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M為線段BD中點(diǎn)，連接CM，EM、

(1)如圖1、當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，若AC=1，AE=2，求FM的長(zhǎng)度;

(2)如圖1、當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，求證：CM=EM;

(3)如圖2、當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄緾M，EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)先給出結(jié)論，然后證明。

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