絕對(duì)值不等式

簡(jiǎn)介

在不等式應(yīng)用中，經(jīng)常涉及重量、面積、體積等，也涉及某些數(shù)學(xué)對(duì)象(如實(shí)數(shù)、向量)的大小或絕對(duì)值。它們都是通過(guò)非負(fù)數(shù)來(lái)度量的。

公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性質(zhì)

|a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。

兩個(gè)重要性質(zhì)：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|<|b| 可逆 a²

另外

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≥0時(shí)右邊等號(hào)成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≤0時(shí)右邊等號(hào)成立。

幾何意義

1.當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)它們位于原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與﹣b的距離等于它們到原點(diǎn)的距離之和。 2.當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)它們分別位于原點(diǎn)的兩邊，此時(shí)a與﹣b的距離小于它們到原點(diǎn)的距離之和。

(|a+b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a與b之間的距離)

絕對(duì)值重要不等式

我們知道

|a|={a，(a>0)， a，(a=0)， ﹣a，(a<0)，}

因此，有

﹣|a|≤a≤|a|

﹣|b|≤b≤|b|

同樣地

①，②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

顯而易見，a，b同號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)，③式等號(hào)成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

即 |a|-|b|≤|a+b|

綜合③，④我們得到有關(guān)絕對(duì)值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

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