實 數

 

　　有理數和無理數統(tǒng)稱實數

 

　　1、有理數：任何有限小數或無限循環(huán)小數都是有理數。

 

　　2、無理數：無限不循環(huán)小數叫做無理數。

 

 

　　實數的有關概念

 

　　一、科學記數法

 

　　1、定義：將一個數字表示成 a×10的n次冪的形式，其中1≤|a|<10，n表示整數，這種記數方法叫科學計數法。

 

　　2、快速科學記數的方法

 

　　（1）大于10的數的表示方法

 

　　對于10的指數大于0的情形，數出“除了第一位以外的數位”的個數，即代表0的個數。

 

　　如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科學記數法寫作1.8×1012

 

　�。�2）小于0的數的表示方法

 

　　10的指數小于0的情形，數出“非有效零的總數（第一個非零數字前的所有零的總數）”

 

　　如0.00934593，第一位非零數字（有效數字）9前面有3個零，科學記數法寫作9.34593*10-3。即第一位非零數字前的0的個數為n，就為10-n

 

　　二、數軸

 

　　1、定義

 

　　在數學中，可以用一條直線上的點表示數，這條直線 叫做數軸，它滿足以下要求:(1)在直線上任取一個點表示0這個點叫做原點(origin);(2)通常規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負方向;(3)選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1(向右1個單位長度)，2(向右2個單位長度)，3(向右3個單位長度)，…;從原點向左，用類似方法依次表示-1(向左1個單位長度)，-2(向左2個單位長度)，-3(向左3個單位長度)…

 

　　在數軸上，除了數0要用原點表示外，要表示任何一個不為0的有理數，根據這個數的正負號確定它所在數軸的哪一邊(通常正數在原點的右邊，負數在原點的左邊)，再在相應的方向上確定它與原點相距幾個單位長度，然后畫上相應的點。

 

　　2、幾何意義

 

　　數軸是一種特定幾何圖形;原點、正方向、單位長度稱數軸的三要素，這三者缺一不可。

 

　　1)從原點出發(fā)，朝正方向的射線(正半軸)上的點對應正數，相反方向的射線(負半軸)上的點對應負數，原點對應零。

 

　　2)在數軸上表示的兩個數，正方向的數總比另一邊的數大。

 

　　3)正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。

 

　　注:單位長度則是指取適當的長度作為單位長度，比如可以取2m作為單位長度"1"，那么4m就表示2個單位長度。長度單位則是指米，厘米，毫米等表示長度的單位。

 

　　二者不容混淆。

 

　　數軸上的點和數是一一對應的。(任何一個數，包括虛數，都可以用數軸上的一個點來表示。)

 

　　數軸的正方向一般向右，但也不排除向左的可能，而且越靠近正方向的數越大，相反離正方向越遠的數越小。

 

　　畫數軸時一般要先畫橫線和正方向，其次畫零，再根據題意畫單位長度。

 

　　相反數

 

　　只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中的一個數叫做另一個數的相反數。

 

　　(a≠0)a的相反數是-a，0的相反數是0。

 

　　絕對值

 

　　在數軸上表示一個數的點離原點的距離就叫做這個數的絕對值

 

　　一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數。0的絕對值是0。

 

　　公式|a|=?

 

　　若a大于0， 則a的絕對值還等于a;

 

　　若a等于0 ，則a的絕對值等于0 ;

 

　　若a小于0， 則a的絕對值等于-a。

 

　　性質:絕對值有非負性

 

　　倒數

 

　　1、倒數是指乘積是1的兩個數互為倒數，0沒有倒數。

 

　　2、倒數的特點:一個正實數(1除外)加上它的倒數 一定大于2.一個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小于-2.

 

　　實數的大小的比較

 

　　1、一切正數大于0，0大于一切負數，正數大于一切負數。

 

　　說明:數軸上右邊的數總比左邊的數大，兩個負數相比較，絕對值大的反而小。

 

　　2、關于二次根式的大小的比較

 

　　如a√b與c√d的比較，先將其轉化為√a2b與√c2d的形式，再比較a2b與c2d的大小，誰大誰的被開方數也就大

 

　　實數的運算

 

　　一、乘方

 

　　求n個相同因數的積的運算，叫乘方

 

　　如an=a×a×a×......×a（n個a相乘）

 

　　二、開方

 

　　1、平方根與算術平方根

 

　　1.平方根

 

　　一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數。比如 9 的平方根是3和-3。

 

　　零的平方根是0。負數沒有實數平方根。

 

　　2.算術平方根是指一個正數的正的平方根。比如 9 的算術平方根是3。規(guī)定,零的算術平方根是0。

 

　　算術平方根是定義在平方根基礎上，因此負數沒有算術平方根。

 

　　2、立方根

 

　　如果一個數的立方等于a，那么這個數叫a的立方根，也稱為三次方根，也就是說，如果x3=a,那么x叫做a的立方根

 

　　其中，a叫做被開方數，3叫做根指數。(a等于所有數，包括0)

 

　　中考必考題型

 

　　題型一 正負數的意義

 

　　1、陸地上最高處是珠穆朗瑪峰頂，高出海平面8844m，記作+8844m；陸地上最低處是地處亞洲西部的死海，低于海平面415m，記作（）

 

　　A +415m   B -415m   C 415m  D-8844m

 

　　分析：根據用正負數表示兩種具有相反意義的量的方法，高出海平面為正時，低于海平面記為負

 

　　答案：B

 

　　題型二  倒數、相反數、絕對值

 

　　2、負實數a的倒數是（）

 

　　A -a        B 1/a       C -1/a      D a

 

　　分析：互為倒數的兩個數的乘積等于1

 

　　答案：B

 

　　3、|-3|的相反數是（）

 

　　A   3    B   -3      C1/3    D -1/3

 

　　答案 B

 

　　題型三  實數的大小比較

 

　　4、下列各數中，最小的實數是（ ）

 

　　A  -√3      B   -1/2       C   -2        D  1/3

 

　　答案：C

 

　　題型四  科學記數法

 

　　5、據不完全統(tǒng)計，全國每年浪費的食物若折合成糧食可養(yǎng)活約350000000人，將350000000用科學記數法可表示為（）

 

　　A  3.5×1010       B   3.5×109

 

　　C  3.5×108         D   3.5×107

 

　　題型五  數軸

 

　　6、如圖所示，數軸上的A、B、C三點表示的數分別為a、b、c，根據圖中各點位置，下列各式正確的是（）

 

　　A  （a-1）（b-1）＞0    B  （b-1）（c-1）＞0

 

　　C（a+1）（b+1）＜0    D （b+1）（c+1）＜0

 

 

　　分析：根據題意得C＜-1＜0＜a＜1＜b，所以（a-1）（b-1）＜0，（b-1）（c-1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（b+1）（c+1）＜0

 

　　答案：D

 

　　題型六  實數的運算

 

　　7、計算（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

 

　　解  （√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

 

　　=1+（-3）+√2-2-√2=-4