例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點，求證：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

　　（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；（1）

　　在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

　　在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

　　由（1）＋（2）＋（3）得：

　　AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

　　∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

　�。ǚ�2）如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

　　AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

　　GF＋FC＞GE＋CE（同上）（2）

　　DG＋GE＞DE（同上）（3）

　　由（1）＋（2）＋（3）得：

　　AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

　　∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

　　在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

　　例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。

　　分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置。

　　證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

　　∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，

　　∴∠BDC＞∠BAC

　　證法二：連接AD，并延長交BC于F

　　∵∠BDF是△ABD的外角

　　∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

　　∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

　　即：∠BDC＞∠BAC。

　　注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

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